Focus mathématique - Résoudre une équation différentielle du premier ordre

Une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants et à second membre constant est du type : `y'(t)+"a"timesy(t)="b"` avec :

• `y'` la fonction dérivée par rapport au temps de la fonction `y` ;
  
• `"a"` et `"b"` des constantes indépendantes du temps.
  

En physique-chimie, les grandeurs dépendant du temps dépendent souvent aussi d'autres grandeurs ; on préfère utiliser la notation suivante pour la dérivée par rapport au temps :`frac{"d"y(t)}{"d"t}+"a"timesy(t)="b"`.

Exemples d'équations différentielles du première ordre rencontrées cette année en physique-chimie

Il faut connaître (et savoir appliquer) la forme générale de la solution d'une équation différentielle du premier ordre : `y(t)="K"timese^{-"a"timest}+frac{"b"}{"a"}`.

On rappelle que `"e"^x` est la fonction exponentielle et que `"e"^"0"=1`.

La condition initiale, soit l’expression ou la valeur de `y(t=0)`, permet de trouver l’expression ou la valeur de `"K"`.

La solution peut également s'écrire sous la forme suivante : `"y"(t)="A"timese^{-frac{t}{tau}}+"B"`.

De la même manière, les valeurs de `"A"` et `"B"` sont données par les conditions aux limites (valeurs initiale et finale).

Cette écriture met en avant le temps caractéristique du système, noté \(\tau\), homogène à un temps. Mathématiquement, on a : \(\tau=\frac{1}{a}\).

Ce temps caractéristique permet d'estimer la durée d'évolution de la grandeur \(y\) jusqu'à sa valeur finale \(y_\text {f}\). Comme avec les solutions de ces équations différentielles, il faudrait une durée infinie pour que \(y=y_\text {f}\), on considère que l'évolution de la grandeur est terminée au bout d'une durée égale à \(5\tau\) (correspondant à 99 % de l'évolution vers l'état final).